Интеграл скорости по времени

Интеграл простыми словами

Интеграл скорости по времени

Интегралы начинают изучать еще в школе. Но никто из учителей не говорит, зачем это нужно, как использовать эти знания в жизни. Мало кто вообще способен объяснить простыми словами, что такое интеграл, даже в университете. А мы попробуем.

  • Простое объяснение
  • Зачем он нужен
  • Примеры из жизни

Простыми словами…

Если коротко — интеграл, это сумма маленьких частей. Да, точно так же как и сложение 2+2, только части бесконечно маленькие, естественно и количество их — бесконечно.

Знак интеграла — это вытянутая буква s (длинная «эс» существовала до начала 19-ого века писалась так — ſ). Первая буква слова summa.

Интегрирование — это сложение бесконечного количества частей бесконечно маленького значения

Почему обычного «плюсования» не достаточно? Просто в алгебре нет никаких бесконечно малых или больших.

Бесконечно малая величина, это не какое-то конкретное число. Это абстракция, в реальном мире аналогов просто нет. Мы придумали так для удобства.  Что-то настолько маленькое, что измерять его бессмысленно, но в расчетах использовать можно.

Слово «интеграл» происходит от латинского integer, что означает «целый». Даже в названии есть намек некое действие, что-то вроде восстановления чего-то целого.

Лучше всего показать «на пальцах», точнее на примере. Предположим, мы хотим узнать площадь фигуры как на картинке (она называется криволинейная трапеция, потому, что одна из сторон создана кривой линией). Зачем нам это нужно? Например, это часть крыла самолета и нужно знать его площадь.

Можно, конечно, разбить фигуру на две, прямоугольник и треугольник.

Но останется «пробел», площадь которого будет неизвестна. Чтобы увеличить точность, можно разделять на большее количество фигур, но все равно будет оставаться какая-то, пусть и небольшая, но «не закрашенная» область. Фигуры будут становиться все меньше и меньше… Очевидно, что процесс измельчения будет бесконечным, по крайней мере в воображении.

Но, в реальности, бесконечный процесс попросту не нужен. На самом деле вычислить такие вещи как площадь круга, длину диагонали квадрата или объем пирамиды невозможно, значение будет бесконечным, естественно, практического смысла бесконечные числа не имеют и мы их «округляем» до нужного предела точности — приблизительно.

Такой метод в Древней Греции назывался «исчерпание».

Аналогия с водой тут очень уместна, если представить, что черпаешь из ведра при помощи кружки, то сначала кружки будут полные, но чем ближе ко дну, тем меньший объем будет попадать в кружку.

Первой известной личностью «взявшей интеграл» был Архимед, он фактически решил задачу по нахождению площади круга и площади параболы ничего не зная ни про пределы, но даже про число «пи».

Чем больше будет фигур, тем больше будет и точность расчета и тем меньше будут сами фигурки. Если площадь маленьких фигурок будет бесконечно малой, то есть стремится к нулю (но не равняться ему), сумма всех этих площадей будет равна сумме большой фигуры с бесконечно большой точностью.

То же самое происходит при интегрировании:

Фигура на картинке разбивается на столбцы бесконечно маленькой ширины. Ширина у нас Х. Бесконечно малое число обозначается d. То есть dx — это бесконечно малый «икс».

Сложение бесконечного числа частей бесконечно маленького размера это и есть интегрирование.

Чтобы узнать площадь фигуры нужна еще высота, а это y. Высота везде не одинаковая, она постоянно меняется. И мы знаем как именно! Ведь кривая может быть (а может и не быть, но в нашем случае так и есть) функцией y=f(x), то есть значение у меняется по закону (буква f об этом говорит) зависимому от х. Поэтому «эф от икс». Значит высота это f(x). Функция, кстати, тоже бесконечная.

Высота конкретного прямоугольничка, это значение функции в этой конкретной точке (почему точке, потому, что ширина полоски у нас бесконечно маленькая, мы так договорились в самом начале).

Площадь, это высота умноженная на ширину. За высоту можем брать и y и f(x), они равны. За ширину у нас играет dx. Итак, момент истины:

f(x)*dx или f(x)dx

f(x)dx — площадь нашего маленького столбика. В если собрать из все вместе, будет сумма бесконечно маленьких столбиков.

∫ f(x)dx

Осталось только указать, что интересуемся мы конкретным значением. Наша кривая, это часть параболы f(x)=x2.

∫ x2dx

А площадь нужна не бесконечной фигуры, а той что начинается от 1 и закачивается на 5. Если написать эти цифры над и под значком интеграла, получится определенный интеграл.

Собственно и все, интеграл — это сумма бесконечно малых приращений (то есть значений) какой-то функции. Не сложно и не страшно, если не усложнять.

Что мы делаем? Разрезаем фигуру на «ленточки» изменяем площадь этих ленточек и собираем все обратно (суммируем).

Интересно, везде идет речь о сумме, а площадь считается умножением. Парадокс? Нет, умножение это ведь то же самое, что и сложение: 2+2+2+2=2*4. То же самое происходит и с площадью. Чтобы выяснить какова площадь прямоугольника со сторонами 5 и 4, перемножаем 5 на 4, или разделяем прямоугольник на 5 полосок шириной в «единицу» и складываем 4+4+4+4+4=5*4=20.

Никакого противоречия здесь нет. Вот только умножение работает в случае одинаковых величин, простых фигур или прямолинейного движения без ускорения. В остальных случаях — интегрирование.

Зачем нужен интеграл

Из примера выше уже понято, что одна из полезных задач интегрирования — это расчет площади криволинейных фигур. В любой сложной ситуации, если сложность эта заключается криволинейности или неравномерности мы используем интеграл.

Но лучший способ объяснить, что такое интеграл простыми словами — показать еще пару примеров. Как когда-то в детстве объяснили сложение на яблоках. Для чего интеграл может понадобиться?

Предположим, нужно построить храм кому-то из древнегреческих богов, такой чтобы место в нем хватило всем, крыша была прямоугольной, а колоны круглыми, ведь так красивее (а еще прочнее).

Давление колонны на фундамент легко посчитать, если она квадратного сечения, делим силу на площадь и вуаля. А если колонна круглого сечения? Какова площадь круга?

Можно конечно, не напрягаться, и заменить круг эквивалентным квадратом (квадратура круга), но каким? На всякий случай побольше, чтобы наверняка ничего не развалилось. Но это не наш метод, особенно, если ни бесконечного числа рабочих, ни бесконечного числа мрамора в действительности нет и взять негде, а казнить за неэффективное использование бюджета никто не запрещает.

Прием с эквивалентом площади на самом деле простой, использовался древними людьми. Очень-очень древние греки ничего не знали об интегрировании, а Архимед еще не родился, тем не менее, чтобы рассчитать площадь круга, в него выкладывались камешки. Когда круг заполнялся, камешки собирались и раскладывались в виде квадрата. Чем меньше камешки тем… Ничего не напоминает?

Еще примеры из жизни

Конечно, в физике интеграл «берут» постоянно. Вместо Х, может быть время, и тогда мы будем иметь дело с функцией времени, такой, например, как скорость. Ускорение — это скорость изменения скорости. Скорость, это скорость изменения координат. Пробежавшись от ускорения к скорости мы уже дважды использовали интеграл.

В обратную сторону: первая производная пути, это скорость, вторая производная — ускорение. Если ускорение равно нулю, значит скорость не менялась.

Интегрирование и дифференцирование, такие же «парочка» как и умножение и деление, суммирование и вычитание, только не с цифрами, а с функциями. Это взаимно-обратные операции. В случае производной, мы не «складываем», а «отнимаем».

Если проинтегрировав функцию изменения скорости (ускорение) получим константу (число, например, 60, а не формулу y=2x), значит, скорость не изменялась со временем, ускорения не было. Если, взяв приводную (дифференциал) функции скорости по времени, получим ноль — скорость не менялась, ускорение равно нулю.

То есть, имея в своем распоряжении какую-то функцию (зависимость чего-то от чего-то), мы можем ее дифференцировать или интегрировать. Точно также как если бы умножали и или, вычитали и складывали обычные числа.

Например, у нас есть функция изменения координат от времени. В реальном мире мы вышли на пробежку. Бежал наш виртуальный спортсмен 30 минут, первые 10 минут очень быстро, вторые 10 минут уже с одышкой, ну а последние 10 прошел пешком.

Очевидно, что координаты бегуна в начале и в конце разные (он же не стоял на месте). Если координаты менялись — скорость не равнялась нулю.

Скорость не была одинаковой, а менялась в зависимости от времени (больше времени, больше усталость, меньше скорость).

Итак, у нас есть функция изменения  координат. Первая производная даст нам новую функцию — изменения координат, вторая производная — функцию ускорения. И первая и вторая функции зависят от одной и той же переменной — времени.

Еще один пример, вычисление массы. Масса, это произведение плотности на объем. Если плотность и объем одинаковы (это стакан воды) никаких проблем нет. А если плотность меняется (тот же стакан, только с коктейлем в несколько слоев)? В таком случае нужно знать закон (зависимость с которой изменяться плотность жидкости в стакане).

Пусть это будет 2×2. Применяем магию интегрирования — (2×3)/3. Теперь осталось подставить вместо Х нужные значения глубины (от ноля на поверхности до значения на дне стакана) и получим массу неоднородной(!) жидкости, без взвешивания.

Если вам такие примеры не близки, то представьте себе, что взяли кредит под сложный процент. Тогда ваш долг будет расти не линейно. И вы будете интегрировать…

Если нужно узнать какую работу нужно затратить на перемещение предмета не по прямой, а если, нужно рассчитать лучшую цену, зная зависимость спроса от предложения, а если нужно посчитать за какое время рабочие выкопают яму, если это не роботы, а живые люди, которые устают со временем, а если…

Если посмотреть вокруг, не найдется в реальном мире ни идеальных фигур, ни ровных графиков, ни равномерного движения без ускорения, ни линейных зависимостей в поведении человека «разумного».

Все эти простые штуки из науки, просто частные случаи. А значит, в реальном мире интеграл более полезен, чем кажется.

Конечно, кривые сложнее прямых и именно поэтому всю свою историю люди упрощали себе жизнь: делили поле прямыми, на квадраты и прямоугольники при помощи натянутой веревки.

Считали среднюю скорость, а не мгновенную в каждой точке маршрута, полагали, что тело прошенное под углом к горизонту летит по параболе, а не баллистической кривой… Но, просто — не значит точно.

Говоря простым языком, интегрирование — это такой же инструмент, как и суммирование, в нем нет никаких особых тайн и сложностей.

Кроме одной — представить себе бесконечность сложнее, чем натуральные числа, у которых есть наглядные представления в природе.

Но справляемся же мы как-то с представлениями таких абстракций как «ноль» или «отрицательное число». С матанализом просто нужно чуть больше воображения.

Ну а если уж совсем просто, для гуманитариев, то производная винограда — это вино. Интеграл вина — это виноград.

Источник: https://interesnye-istorii.in.ua/integral-simple-words/

Дискретное интегрирование

Интеграл скорости по времени

При работе с цифровыми и аналоговыми датчиками порой возникает задача интегрирования их показаний. Так например, операция интегрирования лежит в основе работы фильтра нижних частот.

А интегрирование показаний гироскопа служит основой практически любой системы стабилизации балансирующих роботов или мультикоптеров.

Поскольку природа цифровых устройств позволяет реализовать на их основе только дискретное интегрирование (ДИ), то речь в данной статье пойдет о реализации именно таких методов.

Метод прямоугольников

Из школьного курса мы знаем, что геометрический смысл определенного интеграла заключается в нахождении площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой подынтегральной функции и снизу осью абсцисс.

Суть метода прямоугольников сводится к тому, чтобы разбить всю площадь под кривой на равные по ширине прямоугольники (см. рисунок), а затем сложить вместе их площадь. Вычисление площадей прямоугольников будем выполнять последовательно, шаг за шагом. Таким образом, на шаге n нам потребуется вычислить следующее выражение:

y(n) = y(n-1) + x(n-1)*T

где:
n — номер текущего шага;
y(n) — значение интеграла на шаге n;
y(n-1) — значение интеграла на предыдущем шаге n-1;
x(n-1) — значение подынтегральной функции на предыдущем шаге n-1;
T — приращение времени на текущем шаге.

Другими словами, на каждом этапе работы алгоритма мы прибавляем к уже накопленной площади, новый прямоугольник, который на картинке отмечен пунктиром.

Как видно из рисунка, при расчете площади мы упускаем из виду небольшие криволинейные треугольники, которые образуются между верхней стороной прямоугольника и кривой. Сумма площадей этих треугольников дает нам суммарную погрешность данного метода, которая является самой высокой среди всех остальных подходов.

Метод трапеций

Чтобы хоть как-то снизить высокую погрешность метода прямоугольников, можно воспользоваться чуть более сложным методом трапеций.

Принцип вычисления интеграла по данному методу практически идентичен предыдущему варианту, за исключением того, что теперь мы вычисляем площадь не прямоугольников, а трапеций.

Как видно на рисунке, трапеции куда более аккуратно вписываются в пространство между кривой и осью абсцисс.

Как известно, площадь трапеции со сторонами a и b равна:

S = a*b*h/2

Исходя из этого, разностное уравнение для данного метода интеграции принимает вид:

y(n) = y(n-1) + (x(n-1) + x(n))*T/2

Использование трапеций позволяет снизить погрешность интегрирования, но не может полностью его устранить. На рисунке видно, что между кривой и краем трапеции все еще присутствует небольшой зазор.

Для достижения более точных значений интеграла применяются другие, более сложные методы.

Например, комбинированный метод использует взвешенную комбинацию двух рассмотренных методов, а в методе параболической аппроксимации на каждом шаге интегрирования вычисляется площадь параболы.

В компьютерном моделировании физических процессов применяются еще более точные, но чрезвычайно ресурсоемкие подходы, такие, как, например, метод Рунге-Кутта. Но как известно, микроэлектроника не любит сложных формул, поэтому для наших целей будет вполне достаточно двух рассмотренных методов.

Физический смысл интеграла

Рассмотрим применение интеграла в классической динамике. Пусть некоторое тело (большой человекоподобный робот) двигается постоянным ускорением a. Другими словами тело двигается равноускоренно (либо равнозамедленно). Следовательно, функцию ускорения от времени можно записать следующим образом:

a(t) = a0

Интегрируя данную функцию по времени t мы получим выражение для функции скорости v от времени t:

v(t) = v0 + a0*t

Еще раз интегрируя полученное выражение мы получим уже функцию расстояния s от t:

s(t) = s0 + v(t)*t = s0 + v0*t + a0*t*t/2

Таким образом, зная скорость тела мы легко можем узнать расстояние, которое оно преодолело за некоторое время.

Интегрирование показаний гироскопа

Как уже неоднократно говорилось, на выходе типичного MEMS-гироскопа мы имеем вовсе не угол наклона датчика, а угловую скорость его вращения. Другими словами, MEMS-гироскоп — это на самом деле гиротахометр, и чтобы узнать угол наклона нам потребуется проинтегрировать его показания.

Пусть угол поворота датчика angle измеряется в градусах (гр), а угловая скорость вращения aspeed в градусах за секунду (гр/сек). Для вычисления интеграла применим метод прямоугольников.

Для этого разобьем временную ось на небольшие отрезки по delta секунд в каждом.

Таким образом, каждые delta секунд мы будем вычислять площадь очередного прямоугольника и прибавлять полученное значение к уже накопленной площади:

angle = angle + aspeed * delta

Ниже представлен код соответствующей программы для Arduino.

const int gyrPin = A0; const int INTEGR_DELAY = 20; const int SERIAL_DELAY = 100; // Датчик Pololu LPR550AL const float vref = 3.3; const float vzero = 1.23; const float sens = 0.0005; const float adc = 1023; int integr_time, serial_time, real_delta; short gyr_raw; float angle, aspeed; void setup() { Serial.begin(9600); angle = 0; } void loop() { // Интегрирование скорости поворота гироскопа time = millis(); real_delta = time – integr_time; if( real_delta > INTEGR_DELAY ){ integr_time = time; gyr_raw = analogRead(gyrPin); aspeed = ((gyr_raw * vref)/adc – vzero)/sens; angle = angle + aspeed * real_delta; } // Отправка угла через последовательный порт на ПК time = millis(); if( time – serial_time > SERIAL_DELAY ){ serial_time = time; Serial.print(angle, 4); } }

Данный Arduino-скетч рассчитывает угол наклона гироскопа и отправляет данное значение на рабочую станцию через последовательный порт каждые 100мс. Следует заметить, что для преобразования входного аналогового сигнала в конкретное значение угловой скорости нам потребовалось использовать известное выражение:

gyr = (gyr_raw * vdd — gyr_zero) / gyr_sens

где величины vdd, gyr_zero и gyr_sens следует брать из спецификаций используемого гироскопа.

Повышение точности интегрирования

Мы знаем, что точность расчета интеграла тем больше, чем меньше отрезок дискретизации delta.

В указанной выше программе, данный временной отрезок delta равен 20мс (INTEGR_DELAY), что в принципе позволяет достаточно сносно решать задачу стабилизации мультикоптера.

Как вариант, для увеличения точности мы можем попробовать уменьшить delta, если конечно нам это позволит мощность микроконтроллера.

Либо, мы можем применить другой метод интегрирования, например метод трапеций. В последнем случае программа вычисления угла наклона гироскопа не слишком усложнится и примет следующий вид:

const int gyrPin = A0; const int INTEGR_DELAY = 20; const int SERIAL_DELAY = 100; // Датчик Pololu LPR550AL const float vref = 3.3; const float vzero = 1.23; const float sens = 0.0005; const float adc = 1023; int integr_time, serial_time, real_delta; short gyr_raw; float angle, old_aspeed, aspeed; void setup() { Serial.begin(9600); angle = 0; aspeed = 0; } void loop() { // Интегрирование скорости поворота гироскопа time = millis(); real_delta = time – integr_time; if( real_delta > INTEGR_DELAY ){ integr_time = time; gyr_raw = analogRead(gyrPin); aspeed = ((gyr_raw * vref)/adc – vzero)/sens; angle = angle + (aspeed + old_aspeed) * real_delta / 2; old_aspeed = aspeed; } // Отправка угла через последовательный порт на ПК time = millis(); if( time – serial_time > SERIAL_DELAY ){ serial_time = time; Serial.print(angle, 4); } }

Заключение

Итак, теперь мы умеем интегрировать показания гироскопа и получать угол наклона вокруг его осей.

Следовательно, мы можем сделать простейшую систему стабилизации для квадрокоптера на основе одного лишь датчика и платформы Arduino Uno, к примеру.

Такой аппарат будет сносно держаться в воздухе, но его будет всегда немного вести в стороны из-за дрейфа нуля у гироскопа. Об этом плохом эффекте и о том, как его победить, я поведаю в следующей статье под названием  «Комплементарный фильтр».

Источник: https://robotclass.ru/articles/numerical-integration/

Обзор методов вычисления интегралов по времени и пространству

Интеграл скорости по времени

Интегрирование — один из важнейших математических инструментов, особенно в численном моделировании. Например, дифференциальные уравнения в частных производных обычно выводятся из интегральных уравнений сохранения.

Когда возникает необходимость численного решения уравнения в частных производных, интегрирование также играет важную роль.

В этой статье приведен обзор методов и подходов интегрирования, доступных в COMSOL Multiphysics, а также конкретные примеры их использования.

Важность интегралов

В COMSOL используется метод конечных элементов, который преобразует описывающее некоторый процесс уравнение в частных производных в интегральное уравнение — другими словами, в слабую форму (weak form).

При детальном и глубоком изучении формулировок, используемых в интерфейсах COMSOL, вы обнаружите, что множество граничных условий реализованы через интегралы. В качестве наиболее характерных примеров можно привести условия Total heat flux (Общий тепловой поток) или Floating potential (Плавающий потенциал).

Вычисление интегралов также играет ключевую роль в процессе постобработки результатов, поскольку COMSOL рассчитывает большое количество вспомогательных величин через интегралы, например энергию электрического поля, скорость потока или общий тепловой поток.

Разумеется, пользователи вольны использовать интегрирование в COMSOL в своих целях, и в этой статье мы объясним вам, как это делать максимально эффективно.

Вычисление интегралов в узле Derived Values

Интеграл общего вида имеет форму

\int_{t_0}{t_1}\int_{\Omega}F(u)\ \mathrm{d A} \mathrm{d} t

где [t_0,t_1] — это временной интервал, \Omega — это пространственная область, а F(u) — это произвольное выражение, включающее зависимую переменную u и произвольные функции от нее, в том числе производные по пространству, времени, а также любой другой величине.

Наиболее удобный способ вычисления интегралов — использование узла Derived Values (Расчет выражений) в разделе Results (Результаты) ленты Ribbon или дерева модели (Лента Ribbon отсутствует в том случае, если ваш компьютер работает не под управлением ОС Windows®).

Добавление операций расчета пространственных интегралов по объему, поверхности или линии в узле Derived Values (Расчет выражений)

Вы можете обратиться к любому доступному решению, выбрав соответствующий набор данных (data set). В поле Expression (Выражение) вводится подынтегральная функция, включающая зависимые или производные переменные. Для данных расчета во временной области пространственный интеграл вычисляется на каждом временном шаге.

В качестве альтернативы, в окне Settings (Настройки) узла Data Series Operations (Операции с массивами данных) можно выбрать опцию Integral (Интегрирование), что позволит вычислить общий пространственно-временной интеграл.

Пример настроек вычисления интегралов по поверхности (Surface Integration) с дополнительным вычислением интеграла по времени в разделе Data Series Operations.

Оператор Average (Усреднение) — еще одна операция в разделе Derived Values, связанная с вычислением интегралов. Оператор вычисляет интеграл и делит его на объем, площадь или длину выбранной области. Операция Averageв узле Data Series Operations аналогично вводит деление на продолжительность временного диапазона.

Операторы узла Derived Values — важный инструмент, однако их можно использовать только во время постобработки, а значит с их помощью можно рассчитать далеко не любой интеграл. Именно поэтому в COMSOL представлены другие более мощные и гибкие инструменты для вычисления интегралов.

Мы продемонстрируем их работу на представленном ниже модельном примере.

Вычисление пространственного и временного интегралов для демо-модели из области теплопередачи

Рассмотрим простую модель теплопередачи: двумерный единичный квадрат из алюминия в (x,y)-плоскости. Температура верхней и правой сторон постоянна и равна комнатной (293.

15 K), в то время как для левой и нижней границы задан общий входящий тепловой поток (General inward heat flux), составляющий 5 000 W/m2.

Стационарное и нестационарное решение (в момент времени 100 секунд) представлены на иллюстрациях ниже.

Стационарное решение, нажмите на изображение для увеличения.
Нестационарное решение (для момента времени 100 секунд), нажмите на изображение для увеличения.

Операторы узла Component Coupling (Сопряжение компонентов) используются в тех случаях, когда, например, в одном выражении объединяются несколько интегралов, или интегралы требуются в процессе вычислений, или требуется множество контурных интегралов. Операторы данного узла определяются в разделе Definitions (Определения). На этом этапе режультат использования оператора не просчитывается, а указываются только их название и выборки областей.

Добавление операторов через узел Component Couplings

В нашем примере мы для начала хотим вычислить пространственный интеграл для стационарного распределения температуры, равный

\int_{\Omega}T(x,y)\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y = 301.65

В пакете COMSOL оператор вычисления интеграла по умолчанию получает имя intop1.

Окно настроек оператора интегрирования.
Расчет результата интегрирования через оператор.

Теперь давайте рассмотрим, как оператор интегрирования может использоваться непосредственно в процессе расчета модели. С его помощью мы могли бы, например, выяснить, какая нагревательная мощность потребуется для получения средней температуры 303.

15 К, то есть температуры, на 10 К превышающей температуру окружающей среды. Прежде всего нам необходимо вычислить разницу между требуемым и действительным средними значениями. Среднее значение вычисляется путем деления интеграла от T на интеграл от постоянной функции 1, который равен площади области.

Нетрудно догадаться, что вычисление подобного вида легко выполнить с помощью представленного в COMSOL оператора Average (Усреднение), см. комментарии выше. По умолчанию данный оператор получает название aveop1. Обратите внимание, что среднее значение для области в нашем примере совпадает с интегралом, т.к.

область имеет единичную площадь. Соответствующая разность равна

303.15-\int_{\Omega}T(x,y)\mathrm{d} x\mathrm{d} y = 1.50

Далее нам необходимо найти значение General heat flux (Общий тепловой поток) на левой и нижней границах, при котором была бы достигнута требуемая средняя температура.

Для этого мы введем дополнительную степень свободы под названием q_hot и дополнительное ограничение в качестве глобального уравнения (Global Equation).

Общий входящий тепловой поток (General inward heat flux) тогда перезадается через переменную q_hot.

Добавление дополнительной степени свободы (переменной) и глобального уравнения, для неяного подбора средней температуры, равной 303.15 K.

Решение данной сопряженной системы с помощью стационарного исследования дает значение q_{hot}=5 881.30 W/m2. Т.е. полученное значение можно задать в качестве граничного условия для общего входящего теплового потока, чтобы средняя температура в рассматриваемой области стала равна 303.15 К.

Вычисление неопределенного интеграла посредством оператора интегрирования

В своих обращениях в службу поддержки пользователи часто задают один и тот же вопрос: как рассчитать неопределенный пространственный интеграл? Для этой цели нам также пригодится оператор интегрирования, задаваемый через Component Couplings. Нахождение неопределенного интеграла — операция, обратная дифференцированию.

Неопределенный интеграл позволяет вычислять площади произвольных областей, ограниченных графиками функций. Одна из самых важных прикладных задач — вычисление вероятностей в статистическом анализе. Для того чтобы это продемонстрировать, мы зафиксируем y=0 и обозначим неопределенный интеграл от T(x,0) как u(x). Это значит, что \frac{\partial u}{\partial x}=T(x,0).

Тогда неопределенный интеграл имеет вид

u(\bar x) = \int_0{\bar x}T(x,0)\mathrm{d} x

Здесь мы используем \bar x, чтобы отличать переменную интегрирования от внешней переменной. В отличие от представленных выше интегралов, результатом интегрирования является функция, а не скалярная величина.

Нам необходимо указать для ПО, что для каждого значения \bar x\in[0,1] соответствующее значение u(\bar x) вычисляется при помощи интеграла. В среде COMSOL это можно легко сделать всего за три шага.

Во-первых, потребуется логическое выражение для переписывания интеграла в виде

u(\bar x) = \int_01T(x,0)\cdot(x\leq\bar x)\ \mathrm{d} x

Во-вторых, нам понадобится оператор вычисления интеграла, который будет действовать на нижней границе области из примера. Давайте обозначим его как intop2. В-третьих, мы должны отличать переменную интегрирования от внешней переменной.

Принятые обозначения для такого случая: x называется источником (source), а \bar x — точкой назначения (destination). При использовании операторов интегрирования доступен встроенный оператор dest, который позволяет явно оглашать, что соответствующее выражение не относится к переменным интегрирования.

Точнее, это значит, что в COMSOL \bar x=dest(x). Объединив логическое выражение с оператором dest, мы получим выражение вида T*(x

Источник: https://www.comsol.ru/blogs/overview-integration-methods-space-time/

Интеграл движения

Интеграл скорости по времени

Введение 2

1. Асимптотическая аддитивность интегралов движения. Формулировка теоремы Нётер 3

2. Доказательство теоремы Нётер 4

3. Некоторые замечания относительно теоремы Нётер 13

Вывод 14

Список использованной литературы 15

Введение

Всякое равенствовида называется интегралом движения. Длязамкнутой системы с nстепенями свободы всего существует независимых интегралов движения. Еслисчитать в уравнениях движения новыми переменными,не зависящими от ,то полный набор уравнений движениязапишется в виде

,(1)

причем длязамкнутой системы время здесь войдеттолько в виде явно выписанныхдифференциалов. Поэтому исключая изэтих уравнений dt, мыполучим уравнений, не содержащих времени. Ихинтегрирование приведет к интегралам движения.

1. Асимптотическая аддитивностьинтегралов движения. Формулировкатеоремы Нётер

Среди всехинтегралов движения особое значениеимеют аддитивные или асимптотическиаддитивные интегралы движения, длякоторых существует специальное название- законы сохранения.

Если рассмотретьдве системы, находящиеся очень далекодруг от друга, то физически очевидно,что процессы в одной системе совсемникак не должны влиять на движениедругой.

Поскольку, с другой стороныничто не мешает нам рассматривать дветакие системы как две части, Iи II, единой общейсистемы, то мы приходим к условиюасимптотической аддитивности, которыйзаключается в следующем: если некотораясистема (I + II)разделяется на две подсистемы такимобразом, что минимум расстояния междуматериальными точками разных подсистем,то ее функция Лагранжа распадается насумму функций Лагранжа обеих подсистем:

.(2)

Законы сохраненияимеют глубокое происхождение, связанноес инвариантностью описания механическойсистемы относительно некоторой группыпреобразований времени и координат.

Существует теорема Нётер, утверждающая,что для системы дифференциальныхуравнений, которые могут быть полученыкак уравнения Эйлера из некотороговариационного принципа, из инвариантностивариационного функционала относительнооднопараметрической непрерывной группыпреобразований следует существованиеодного закона сохранения. Если группасодержит l параметров,то из инвариантности функционала будетследовать существование lзаконов сохранения.

Наличие входящихв требуемую теоремой Нётер группупреобразований симметрии зависит отприроды физической системы.

Длярассматриваемых замкнутых системдействие должно быть инвариантнымотносительно семипараметрическойгруппы преобразований – зависящего отодного сдвига по времени, зависящих оттрех параметров пространственныхсдвигов и зависящих от трех параметроввращения пространства.

В соответствиис этим у всякой замкнутой системы должнысуществовать 7 сохраняющихся величин,отвечающих указанным преобразованиям.Если система такова, что она допускаетеще и другие преобразования симметрии,то сохраняющихся величин может оказатьсябольше.

Точно сформулируеми докажем теорему Нётер.

Рассмотримнекоторую систему, описываемую функциейЛагранжа

.(3)

Форма уравненийЛагранжа-Эйлера, получаемых извариационного принципа с такой функциейЛагранжа, инвариантна относительнопреобразований вида ,а также и относительно более общихпреобразований

(4)

включающихзамену независимой переменной. Однакоконкретный вид для нового выражениядля действия, как функционала новыхкоординат, зависящих от нового времени,может претерпеть при таком изменениилюбые изменения.

Теорема Нётеринтересуется только тем случаем, когдатаких изменений не происходит.

Итак, будемсчитать, что мы ввели совокупностьзависящих от (для простоты) одногопараметра преобразований обобщенных координат и времени.

Используя (4),получим:

(5)

Пустьпреобразования такие, что

(6)

т.е. образующиходнопараметрическую группу. Рассмотримбесконечно малое преобразование,отвечающее параметру .

Тогда

(7)

Собственновариации обобщенных координат,происходящие при рассматриваемомпреобразовании, – это разность значенийновых координат в некоторый моментнового времени и значений старыхкоординат в соответствующий момент староговремени, т.е.

.(8)

Наряду с нимиудобно ввести в рассмотрение вариацииформы

(9)

зависимостикоординат от времени, которые отличныот нуля, даже если наше преобразованиезатрагивает только время, а не координаты.

Для любойфункции справедливо соотношение:

.

Тогда междудвумя введенными видами вариаций естьсоотношение, которое можно получитьследующим образом: вычтем из (8) уравнение(9), получим:

,

примем вовнимание, что

,

тогда имеем:

(10)

Вариации беззвездочек, относящиеся к одному значениюаргумента, перестановочны сдифференцированием по времени

,

в то время, какдля вариаций со звездочками это, вообщеговоря, неверно.

Соответствующиедва вида вариаций можно ввести и длялюбой динамической переменной. Например,для функции Лагранжа

(11)

причем

(12)

где включает дифференцирование как по явновходящему времени, так и по времени,входящему неявно, через координаты искорости.

Потребуемтеперь, чтобы интеграл действия неменялся бы при нашем преобразовании, -это и есть тот исключительный случай,который требуется условием теоремы, -т.е. чтобы было

,(13)

где Т' – таже область интегрирования, что и Тво втором интеграле, но выраженная черезновые переменные. Тогда подставив (11) в(13), получим

(14)

Выражаем в (15)через (11) и учитывая соотношение

,

переходя кинтегрированию по tвместо t', получим:

Учитывая, что

,

получим:

(15)

Но

(16)

Найдемдифференциал

,

отсюда

(17)

Подставив (17)в (16), получим:

Под знакомпервой суммы стоит уравнение Лагранжа,т.е.

Тогда имеем:

(18)

Подставимполученное значение вариации функцииЛагранжа в (15), имеем:

Из(10) выразим через и :

Тогдавариация действия

(19)

Мы должныпотребовать равенства этой вариациинулю. В силу произвольности областиинтегрирования Т из равенства нулюинтеграла следует равенство нулюподынтегрального выражения, т.е. мыприходим к тому, что необходимым идостаточным условием инвариантностидействия относительно преобразования(7) служит удовлетворение уравнения

.

Заменим и ,используя соотношения (7) и (8), имеем:

Вынесем за скобки и разделим на нее обе частиуравнения. Окончательно получимнеобходимое условие:

(20)

Другими словами,из инвариантности действия относительно(7) мы получили то следствие, что величина

(21)

остаетсяпостоянной во времени. Это и есть точноеутверждение теоремы Нётер.

1. Величина (21)еще не является динамической величиной- кроме обобщенных координат, скоростейи времени она зависит еще и от задающихпреобразований функций .(21) станет динамическим законом толькотогда, когда сами задающие (7) функциибудут (помимо параметров) зависетьтолько от .

интегралдвижение теорема нётер

2. Обратимвнимание на разный характер двух членовв (21). Первый из них включает саму функциюЛагранжа, поэтому обязательно перепутываетвсе степени свободы системы и поэтомуможет обладать самое большое асимптотическойаддитивностью (2).

Напротив, второй имеетявную форму суммы по отдельным степенямсвободы.

Таким образом, если преобразование,относительно которого действиеинвариантно, затрагивает время, то мыможем надеяться на сохранение толькоасимптотически аддитивной величины,если же преобразование меняет лишькоординаты, то сохраняться будет точноаддитивная величина.

Вывод

Таким образом,была сформулирована и доказана теоремаНётер.

Существенно то, что теорема Нётерпозволяет, при заданном виде функцииЛагранжа, найти аддитивные интегралыдвижения в виде явных функций координати скоростей, не интегрируя никакихуравнений, ведь в общем случае каждыйиз интегралов движения находится толькоинтегрированием системы, число уравненийкоторой только на одно меньше полнойсистемы уравнений движения.

Список использованной литературы

  1. Медведев Б.В. Начала теоретической физики. Механика. Теория поля. Элементы квантовой механики: Учебн. Пособие для вузов. – М.: Наука, 1977. – 496 с.

  2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. Электродинамика: Краткий курс теоретической физики. Кн.1. – М.: Наука, 1969 – 271 с.

  3. Рымкевич П.А. Курс физики [Для физ-мат фак. пед. институтов] Изд. 2-е, перераб и доп. М.: Высшая школа, 1975.

Источник: https://studfile.net/preview/8122101/

Ваш лекарь
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: